Quand les maths semblent contredire la réalité

La probabilité semble parfois “irréaliste”.

Bizarre pour une science sensée représenter la réalité le plus fidèlement possible, non ?

Mais laissez moi vous présenter l’énigme populaire chez les statisticiens appelée le problème de Monty Hall, et vous m’en direz des nouvelles.

Le problème de Monty Hall est un paradoxe de probabilité basé sur un jeu télévisé. Le joueur se trouve devant trois portes fermées : derrière l'une se trouve une voiture (le prix), et derrière les deux autres, il y a une chèvre. Le joueur choisit initialement une porte, puis le présentateur, qui sait ce qui se cache derrière chaque porte, ouvre une autre porte qui révèle une chèvre. Le joueur se voit alors offrir la possibilité de conserver son choix initial ou de changer pour la troisième porte encore fermée.

La clé du paradoxe est que, contre-intuitivement, changer de porte augmente les chances de gagner la voiture de 1/3 à 2/3.

Ce problème a été soulevé lors d’une discussion avec nos aînés, et je croyais dur comme fer que, logiquement parlant, la probabilité grimpe à 50%, mais certainement pas à 66.67% ! Ce qui, du point de vue le plus basique, semble la solution la plus vraisemblable.

Mais dans la littérature, il a été démontré le résultat précédemment énoncé.

Après avoir donc discuté avec 2 amis, j’ai donc décidé de rapporter comment j’ai compris le problème, et les trois méthodes que j'ai explorées pour y répondre: la formule de Bayes, le dénombrement et la logique. Avec à l'appui un code python que je vous invite à découvrir sur github en cliquant ici.

Démonstration par la formule de Bayes

Pour le statisticien, la formule de Bayes est simplement la formule des probabilités conditionnelles.

A et B étant les événements et P(A|B) étant la probabilité de A sachant B.

Considérons le choix du joueur, et supposons qu’il ait choisi la porte 1. Le présentateur ouvre la porte 3 et il y trouve une chèvre. On cherche maintenant la probabilité que la porte 2 contienne la voiture, pour démontrer notre résultat.

Cette probabilité peut se formuler ainsi: la probabilité que la porte 2 donne la voiture sachant que la 3 donne une chèvre.

Par analogie, on peut donc définir les événements:

• A: la porte 2 contient la voiture

• B: la porte 3 contient la chèvre

Calculons donc: P(B|A): la probabilité que la porte 3 contienne la chèvre, sachant que la porte 2 contienne la voiture.

On sait déjà que la porte 3 contient la chèvre (grâce au présentateur), donc cet événement est certain, quel que soit le résultat de l’ouverture d’une autre porte quelconque. Donc P(B|A) = 1.

P(A) = 1/3 (évidemment).

P(B) = la probabilité que la porte ouverte par le présentateur contienne la chèvre. Etant donné l’hypothèse selon laquelle le présentateur ne peut pas ouvrir la porte que le joueur avait déjà choisi, il n’a plus que deux possibilités. Donc P(B) = 1/2.

Tout calcul fait donc, on obtient bien P(A|B) = 2/3, ce que nous voulions démontrer.

Démonstration par dénombrement

Notons V la porte qui contient la voiture, et C les portes pour les chèvres.

Nous avons trois configurations possibles:

V C C
C V C
C C V

On rappelle l’hypothèse selon laquelle le présentateur montre toujours une porte qui contient une chèvre, sans quoi le jeu ne pourrait être stable.

On rappelle encore qu’on veut démontrer que le joueur a plus de chances d’obtenir la voiture lorsqu’il change de choix. Nous allons donc considérer uniquement les événement où il change de choix après que le présentateur présente la chèvre.

On considère la situation où le joueur choisit la 1ère porte.

1er cas : V C C

Supposons que le joueur choisit la porte 1 (V). Ici, s’il change de choix, il perd automatiquement, car son premier choix contient déjà la voiture. S’il change, il perd à coup sûr.

2e cas : C V C

S’il choisit la première porte (C), et étant donné que le présentateur choisit toujours de présenter une chèvre, il ne reste plus que la porte de la voiture. Si le joueur change donc de porte, il gagne automatiquement.

3e cas : C C V

Ce cas est identique au précédent: les deux portes de chèvres sont déjà choisies, et le changement du choix permet automatiquement de gagner.

On vient donc de démontrer que quelle que soit la porte choisie par le joueur au départ, il a la possibilité de gagner 2 configurations sur les 3 possibles lorsqu’il change de porte. On peut aussi démontrer, de la même manière que, s’il ne change pas, il n’a qu’une chance sur les 3 de gagner (le cas où son premier choix contient la voiture, soit le cas VCC).

Démonstration par la logique

Nous n’allons pas utiliser de formule ici, et nous allons faire du raisonnement pur.

Le joueur choisit une porte. La probabilité que cette porte contienne la voiture est de 1/3. La probabilité donc que la voiture soit dans l’une des deux autres portes est de 2/3 (union de deux événements, somme des probabilités respectives de contenir la voiture).

En révélant la porte parmi les 2 autres qui contenait la chèvre, la probabilité change de façon intuitive. Evidemment, on sait que moins de possibilités il y a, plus il y a de chances de faire le bon choix.

Mais en considérant le 2e groupe, la probabilité que la voiture appartienne au 2e groupe est de 2/3. Ce groupe n’étant plus constitué que de la dernière porte non révélée, la probabilité que cette porte contienne la voiture donc grimpe à celui du groupe, 2/3.

On serait en effet tenté de toujours considérer qu’il s’agit d’un fifty-fifty. Mais, cela n’est le cas que lorsque les événements sont indépendants. Il n’y a plus vraiment d’indépendance puisqu’on a déjà une certaine information sur les échantillons considérés.

Pas facile à saisir, même pour moi qui ai écrit ces lignes 😅

Simulation avec Python

J'ai réalisé la simulation de cette expérience avec python, et en calculant les probabilités de réussite en ne changeant pas de porte et en changeant de porte. Les résultats sont sans appel:

Ratio de succès en ne changeant pas de porte : 0.343
Ratio de succès en changeant de porte : 0.657

Résultats qui viennent pleinement d'être démontrés.

Si vous voulez réaliser l'expérience vous-mêmes, n'hésitez pas à consulter le dépôt github qui contient tous les codes et la démarche utilisée.

Alors, les maths sont-elles réalistes ou pas ?