L'ACP: Analyse en Composantes Principales

L'ACP est l'une des méthodes d'analyse multivariée les plus utilisées. Une analyse multivariée est un ensemble de méthodes statistiques utilisées pour résumer l'information contenue dans un tableau à plusieurs variables. Autrement dit, c'est de la statistique descriptive, mais avec plusieurs variables.

Objectif de l'ACP

Il s'agit de déterminer, et surtout visualiser les relations entre individus et les variables étudiées sur la population, représentées respectivement par les lignes et les colonnes d'un tableau à double entrée, ou d'une table de base de données. Les variables étant généralement nombreuses, il nous faudra donc résumer l'information pour pouvoir la représenter en 3 dimensions au plus, et 2 dimensions en général.

Principe

L'ACP permet de réduire le nombre de dimensions, ou de variables, à k nouvelles variables qui sont des combinaisons linéaires des p variables initiales. Ces nouvelles variables renferment le plus d'information possible en maximisant la variance par rapport aux autres combinaisons linéaires. Ce sont les composantes principales, qui déterminent les axes principaux, et les combinaisons linéaires qui leur sont associées sont appelées les facteurs principaux.

Calcul des Composantes Principales

Le calcul des CP peut se faire à partir des étapes suivantes. Notez bien toutefois que la méthode peut varier en fonction de la situation.

Normalisation des données

Avant d'aller plus loin, et d'éviter que une trop grande différence entre les données influencent l'analyse, il est utile dans certains cas de normaliser les données avant de commencer l'analyse. Pour cela, on utilise la Z-score normalization dont la formule est similaire à celle de la loi normale centrée réduite. Elle a l'avantage d'éliminer les problèmes d'unité, et met toutes les données à la même échelle pour une analyse plus équilibrée.

Calcul de la matrice de covariance de la matrice de départ

Elle nous permet d'identifier les relations entre les variables, et comment elles varient les unes par rapport aux autres. Et il s'agit d'une matrice symétrique.

Calcul des vecteurs propres et les valeurs propres de la matrice de covariance

Les vecteurs propres calculés ici représentent les composantes principales recherchées, et les valeurs propres la variance dans chaque composante.

Sélection/Choix des composantes principales

Pour capturer le plus d'informations possible, on ne choisira que les composantes à forte variance. Autrement dit, plus la valeur propre est élevée, plus la composante est significative. En général, on arrête le choix du nombre de composantes principales lorsque, au moins 50% des infos est prise en compte (soit lorsque les valeurs propres pour la composante atteint au moins 50%).

Nouvelle représentation des données

A partir du tableau de corrélation, on peut désormais créer le nouveau tableau, et l'utiliser pour représenter les données que nous voulons.

Ces explications sont assez simples et passent sur beaucoup de détails. Aujourd'hui il est plus pratique de réaliser ces analyses avec les langages de programmation comme R, Python, etc. Nous allons faire un cas pratique, ce qui nous permettra de revenir sur des détails qui n'ont pas forcément été énoncés.

Cas Pratique avec R

Le projet suivant présente une étude pratique d’Analyse en Composantes Principales (ACP) réalisée sur le jeu de données Wine, intégré à R. L’objectif est de vous guider pas à pas à travers les étapes classiques d’une ACP : préparation et exploration des données, réalisation de l’ACP avec le package FactoMineR, visualisation des résultats avec factoextra, et interprétation des axes et des groupes identifiés. Ce cas pratique illustre concrètement comment l’ACP permet de réduire la dimensionnalité d’un jeu de données tout en conservant l’information essentielle et de visualiser les relations entre variables et individus.

Quelques images de l'étude:

Cliquez ici pour accéder à l'étude complète sur github.